2.8 전사함수와 일대일함수

---

이 글은 Edwith로 부터 제공되는 주재걸 교수님의 "인공지능을 위한 선형대수" 강의를 듣고 요약하였으며, 개인 공부를 위해 부족한 부분을 위해 필요한 개념들을 추가하여 작성하였습니다.

---

 이번 절(2.8)에서는 "Onto" / "one-to-one" 정의 및 개념을 알아보고, 예제를 직접 풀어면서 이해를 돕고자 한다.

 

 

• ONTO

• ONE-TO-ONE

 

ONTO and ONE-TO-ONE

---

[그림 1] Onto 정의

 

 왼쪽과 같이 어떤 x vector를 선형변환 후 image들의 셋이 모인 Range 가 Codomain 다르먄, Onto가 아니다. 반대로, 오른쪽과 같이 선형변환 후 Range와 Codomain 이 같으면, Onto라고 할 수 있다. 또한 T(x) = b 를 만족하는 해가 적어도 하나 존재한다고 볼 수 있다.

 

ONTO and ONE-TO-ONE

---

[그림 2] one-to-one 정의

 

 왼쪽과 같이 어떤 x vector를 선형변환 후 image들의 집합인 range가 있을 때, T(x) = b를 만족하는 해가 여러개가 존재한다면 ONE-TO-ONE이 아니다. 반대로 오른쪽과 같이 x vector를 선형변환 후 image들의 집합인 range가 있을 때, T(x) = b를 만족하는 해가 최대 1개(1개 또는 0개)인 경우 one-to-one 을 만족한다.

 

 

ONTO and ONE-TO-ONE Example

---

Example 1

 

 다음 위의 정의와 각각의 성질을 이용하여 아래의 Matrix Transformation이 onto 인지 one-to-one인지 판단해보자.

 

[그림 3] onto

 

3 x 4 Matrix는 n < p 이므로 선형 종속이며, 이는 nontrivial solution이기 때문에 해가 무수히 많이 존재한다. 따라서 one-to-one이 아닌 onto이다.

 

 

Example 2

 

 다음 위의 정의와 각각의 성질을 이용하여 아래의 Matrix Transformation이 onto 인지 one-to-one인지 판단해보자. 

 

[그림 3] one-to-one

 

해당 Matrix는 linearly independent이기 때문에, one-to-one이다.

 

 

Theorem 

---

위 예제에서 풀었던 방법에 사용된 이론을 정리하면 다음과 같다.

 

[그림 4] 정리 11

one-to-one 과 only trivial solution 은 서로 필요충분조건, 

 

[그림 5] 정리 12