2.6 선형변환

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이 글은 Edwith로 부터 제공되는 주재걸 교수님의 "인공지능을 위한 선형대수" 강의를 듣고 요약하였으며, 개인 공부를 위해 부족한 부분을 위해 필요한 개념들을 추가하여 작성하였습니다.

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이번 절(2.6)에서는 선형 변환 정의 및 개념을 알아보고, 예제를 직접 풀어면서 이해를 돕고자 한다.

 

 

Transformation

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Transformation (function, mapping) 의 정의는 다음과 같다. 

 

[그림 1] Transformation의 정의

 

vector x (n 공간)를 어떤 규칙에 의해서 Linear Tranformation을 했을때 vector T (x) (m 공간)로 변환하는 과정이다. 

 

[용어 정리]

• Domain : Set of all the possible values of x (정의역)

• Co-domain : Set of all the possible values of T(x) (공역)

• Image : a mapped output y, given x

• Range : Set of all the output values mapped by each x in the domain (치역)

 

 

 

[그림 2] Domain, Codomain and Range

 

Example 1 : Matrix Multiplication (or Linear Transformation)

 

[그림 3] Example 1 : Linear Transformation

 

4차원 내 x 벡터를 matrix A 에 의해 선형 변환하면 2차원 내 b 벡터로 변환된다.

4차원 내 u 벡터를 matrix A 에 의해 선형 변환하면 2차원 내 0 벡터로 변환된다.

 

 

Example 2 : 

 

[그림 4] Example 2 : image & range

 

• 3차원 내 벡터를 2차원 평면 공간으로 변환시키는 예제 (좌)
• 2차원 공간 내 벡터를 선형 변환하여 2차원 다른 공간으로 변환시키는 예제를 Shear Transformation 라고 함(우)

 

Linear Transformation

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[그림 5] Linear Transformation 정의

 

Example 3

 

[그림 6] Exxmple 3 : Linear Tranformation 정의를 만족하는지 예제

 

 

The Matrix of Linear Transformation

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어떤 Matrix Transformation을 찾을때, 어떤 특정 Vector를 Transformation해서 나온 Image만 알고 있으면 Matrix Transformation을 알 수 있다. 예제로 풀어보면 다음과 같다.

 

[그림 7] Example

 위 에서 구한 Matrix Transformation은 unique(유일)하고, 이를 standard matrix for the linear transformation T 라고 한다. 증명은 생략

 

 

 

 

 

참고 : https://colah.github.io/posts/2014-03-NN-Manifolds-Topology/ 

Neural Networks, Manifolds, and Topology -- colah's blog

 

 

Summary

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• transformation

• linear transformation

• Matrix transformation

• Matrix of Linear Transformation