1.2 Row Reduction and Echelon Forms

• Echelon Forms
• Row Reduction

 

nonzero row & nonzero coulmn

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Row Reduction에 대한 구체적인 알고리즘을 알아보자

시작하기에 앞서 nonzero row와 nonzero column을 알아야 한다.

 

[그림 1 nonzero row 및 nonzero column

 어떤 Matrix에서 특정 Row 또는 Column을 뽑았을 때, Row나 Column에 내에 있는 scalar 中, 0이 아닌 값이 적어도 하나가 존재한다면 nonzero row 또는 nonzero column 이라고 한다.

 

A leading entry of row

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the leftmost nonzero entry : 어떤 행에서 가장 왼쪽에 있는 nonzero entry

 

[그림 2 leading entry of row]

 

 

Echelon form (정의 및 예제)

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1. All nonzero rows are above any rows of all zeros.
2. Each leading entry of a row is in a column to the right of the leading entry of the row above it

Echelon from을 따르는 Matrix는 다음과 같다.  

[그림 3] Echelon form

 

Reduced Echelon form

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1. All nonzero rows are above any rows of all zeros.
2. Each leading entry of a row is in a column to the right of the leading entry of the row above it
3. The leading entry in each nonzero row is 1.
4. Each leading 1 is the only nonzero entry in its column.

Reduced Echelon from을 따르는 Matrix는 다음과 같다.  Echelon from 조건에 3번, 4번 조건이 추가된다.

[그림 4] reduced echelon form

pivot position : leading entry의 위치를 의미함

 

Theorem 1. Uniqueness of the Reduced Echelon Form

Each matrix is row equivalent to one and only one reduced echelon matrix.

 

어떤 Matrix에서 row reduction을 진행하여 reduced echelon form을 만들면 이외의 다른 form은 만들어 질 수 없다.

(증명은 추후 과정을 통해 가능)

 

[그림 5] General Solution

[그림 6] consistent / inconsistent

다음은 Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem 이다.

[그림 7]  Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem