4.3 Characteristic Equation

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 이 글은 Edwith로 부터 제공되는 주재걸 교수님의 "인공지능을 위한 선형대수" 강의를 듣고 요약하였으며, 개인 공부를 위해 부족한 부분을 위해 필요한 개념들을 추가하여 작성하였습니다.

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 4.2절에서 배운 새로운 벡터 공간의 개념을 바탕으로 고유벡터와 고유값을 더 깊이 이해하고 예제를 참고하면서 특성방정식(Characteristic Equation)을 통해 이들을 구하는 법을 알아보겠습니다. 

 

Characteristic Equation

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 앞서 고유값과 고유벡터를 구해봤지만, 특성화 방정식을 사용하여 구하는 Example 1 을 살펴보자. 

예제를 풀기 전, 아래 정리를 활용해야하니 참고 하자.

[그림 1] A의 역행렬과 행렬식의 필요충분조건

[Example 1.1] 고유값 구하기

[그림 2] Example 1 : 고유값 구하기

[Example 1.2] 고유벡터 구하기

고유값을 구하고나면 고유벡터를 구할 수 있다. 여기서는 생략! 다른 절에서 계속 반복할 예정

 

[The Characteristic Equation]

[그림 3] The Characteristic Equation

 위의 정리를 이용하면 행렬 (𝐴 − 𝜆𝐼)의 determinant 가 0을 만족하는 방정식을 통해 고유값을 계산할 수 있다. 

 

 

Characteristic polynomial [추가 자료]

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[Example 2] 4 x 4 matrix의 고유값 구하기

[그림 4] Example 2

 위 예제를 통해 4 x 4 matrix의 charactoeristic polynomial은 차수(degree)는 4를 가진다. 그리고 eigenvalue는 5라는 두 개의 중근을 가지고 있는데, eigenvalue 5는 muliplicity = 2 라고 표현 한다.

 

Similarity [추가 자료]

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[그림 5] Similarity 정의

[그림 6] Similarity 성질을 이용한 정리 

 위의 정리에 의해 n x n의 Matrix A와 B 가 서로 similar이면, Matrix A와B 는 eigenvalue가 서로 같다! 이러한 성질들을 가지고 다음절에서 대각화를 이용할 것이다.