[베이지안 딥러닝] Ch3.3 Bayesian linear regression

2020-2학기 이화여대 김정태 교수님 강의 내용을 바탕으로 본 글을 작성하였습니다.

 

Overview

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• Linear regressoin (MLE)
• Bias-Variance Decomposition
• Bayeisan linear regression 
• Bayesian model comparison
• The evidence approximation
• Limit, of fixed basis functions

 

Bayesian linear regression

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▶ Why Bayesian approach is needed?  

• Model complexity (such as number of basis functions) needs to be determined according to data size.
• Cross validation can be computationally expensive and more importantly waste of valuable data.
• Bayesian treatment may avoid over-fitting and determine model complexity using training data only.

 특정 문제에 대해 적당한 모델 복잡도($\lambda$)를 결정하는 것이 새로운 문제 및 훈련 데이터와는 독립적으로 검증 데이터 집합을 이용하는, Cross validation 기법은 제한된 데이터 및 자원을 소모하는 행위라 좋지 않음. 베이지안 방법론을 바탕으로 선형 회귀를 시행하면 최대 가능도 방법에서 발생하는 과적합 문제를 피할 수 있으며, 훈련 데이터만 가지고 모델의 복잡도를 자동적으로 결정할 수 있다. 여기서는 논의를 쉽게 하기 위해 단일 target variable $t$의 경우에 대해서만 살펴볼 예정이다. 

▶ 3.3.1 Parameter distribution

• Conjugate prior

$$p(\mathbf{w}) = N(\mathbf{w}| \mathbf{m}_0, \mathbf{S}_0) \tag{1}\label{1}$$

모델 매개변수 $p(\mathbf{w})$에 사전 확률 분포를 도입함으로써 베이지안 선형 회귀가 시작된다. 그 다음 단계는 사루 분포를 계산하는 것으로 사전 분포와 가능도 함수의 곱에 비례함

참고 : 식 (2)를 구하는 과정 → [베이지안 딥러닝] Introduction - Curve Fitting (Bayesian curve fitting)

• Posterior 

$$p(\mathbf{w}| \mathbf{t}) = N(\mathbf{w}|\mathbf{m}_N, \mathbf{S}_N) \tag{2}\label{2}$$

where

$$\mathbf{m}_N = \mathbf{S}_N(\mathbf{S}_0^{-1} \mathbf{m}_0 + \beta\Phi^T\mathbf{t}) \tag{3}\label{3}$$

$$\mathbf{S}_N^{-1} = \mathbf{S}_0^{-1} + \beta \Phi^T \Phi \tag{4}\label{4}$$

사전 분포가 가우시안 분포이므로 최빈값과 평균값이 일치한다. 따라서 최대 사후 가중 벡터는 단순히 $\mathbf{w}_{MAP}=\mathbf{m}_N$으로 주어지게 되며, $\mathbf{S}_0 = \alpha^{-1}\mathbf{I} (\alpha \rightarrow 0)$인 무한대로 넓은 사전 분포를 고려해보자. 이때 사후 분포의 평균 $\mathbf{m}_N$은 $\mathbf{w}_{ML}$이 된다. 이와 흡사하게 $N = 0$인 경우에는 사후 분포가 사전 분포와 같아진다. 또한 데이터 포인트들이 순차적으로 입력된다면 각 단계에서의 사후 분포가 다음 단계의 사전 분포가 된다. 

 이번 장에서는 처리 과정을 단순화하기 위해 특정 형태의 가우시안 사전 분포 식 (5)를 사용할 것이다.

$$p(\mathbf{w}|\alpha) = N(\mathbf{w}|\mathbf{0}, \alpha^{-1}\mathbf{I}) \tag{5}\label{5}$$

이에 해당하는 $\mathbf{w}$에 대한 사후 분포는 다음과 같이 주어진다.

$$\mathbf{m}_N = \beta \mathbf{S}_N \Phi^{T}\mathbf{t} \tag{6}\label{6}$$

$$\mathbf{S}_N^{-1} = \alpha \mathbf{I} + \beta\Phi^{T}\Phi \tag{7}\label{7}$$

• log of the posterior distribution

$$\ln p(\mathbf{w}|\mathbf{t}) = -\frac{\beta}{2} \sum_{n=1}^{N} \{t_n - \mathbf{w}^T\phi(\mathbf{x}_n) \}^2 - \frac{\alpha}{2} \mathbf{w}^T\mathbf{w} + \text{const.} \tag{8}\label{8}$$

 로그 사후 분포는 로그 가능도와 로그 사전 분포의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 $\mathbf{w}$에 대한 함수로 적으면 위와 같다.

• Maximization of the posterior distribution with respect to $\mathbf{w}$ is equivalent to minimization of the sum of squares error function with quadratic regularization with $\lambda = \alpha / \beta$.
• MAP estimation is obtained by finding the maximizer of the posterior distribution

Example : Illustration of Bayesian learning

 단순한 linear fitting 에제를 바탕으로 basis function 모델의 베이지안 학습과 사후 분포의 순차적 업데이트 방식에 대해 살펴보자.

• Model : $y (x, w) = w_0 + w_1 x$
• Underlying function $f(x) = -0.3 + 0.5x$ 
• Data sample : $t_n = (x_n, f(x_n)) + e(n)$, where $e(n)$ is from Gaussian distribution with $\sigma = 0.2$ and $x_n \sim U(-1,1)$ 로부터 인공적으로 데이터를 만들어 냄

목표 : 위 sample data로부터 $a_0$ 및 $a_1$을 구하는 것, (정밀도 매개변수 $\alpha, \beta$를 각각 fix시킴)

• $\alpha = 2.0$
• $\beta = (\frac{1}{0.2})^2$ 

 [Figure 1]에 있는 ⓐ부터 시작해서 ⓝ까지 순차적으로 가보면, 베이지안 학습이 이루어지는 과정을 (순차적 업데이트) 알 수 있을 것이다. 추가적으로 데이터 크기에 대해서 이 결괏값에 어떤 종속성이 있는지 살펴볼 것

[Figure 1] Illustration of sequential Bayesian learning for a simple linear model of the form y(x, w) = w0 + w1x

 무한히 많은 수의 데이터 포인트들을 관측한 후에는 $\mathbf{w}$에 대한 사후 분포가 실 매개변수값들(흰색 십자가)을 중심으로 한 델타 함수가 될 것(?)이다. (즉, 분포지만, 수집된 data를 기반, MLE로 추정한 것과 근사할 것으로 예상)

 

▶ 3.3.2 Predictive distribution

• Predictive distribution

$$p(t |x, \mathbf{t}, \alpha, \beta) = \int p(t|\mathbf{w}, \beta)p(\mathbf{w}|\mathbf{t}, \alpha, \beta) d \mathbf{w} \tag{9}\label{9}$$

 실제 응용 사례에서는 $\mathbf{w}_{MAP}$를 알아내는 것보다 새로운 $\mathbf{x}$ 값에 대하여 $t$의 값을 예측하는 것이 더 중요할 수 있음. 이를 위해 식 (9)와 같이 정의되는 예측 분포(predictive distribution)를 고려해보자.

  $$p(t |x, \mathbf{t}, \alpha, \beta) = N(t | \mathbf{m}_N^T \mathbf{\phi(\mathbf{x})}, \sigma^2_N(\mathbf{x})) \tag{10}\label{10}$$

where (예측 분포의 분산)

$$\sigma^2_N(\mathbf{x}) = \frac{1}{\beta} + \mathbf{\phi(\mathbf{x})}^T \mathbf{S}_N \mathbf{\phi(\mathbf{x})} \tag{11}\label{11}$$

식 (11)에서 첫 번째 항인 $\frac{1}{\beta}$은 noise를 표현하고 있으며, 두 번째 항은 매개변수 $\mathbf{w}$에 대한 불확실성을 표현하고 있다. 만일 추가적인 데이터가 관측된다면, 사후 분포는 더 좁아질 것이다. 그 결과로 $\sigma^2_{N+1}(\mathbf{x}) \leqslant \sigma^2_{N}(\mathbf{x})$라는 것을 보일 수 있다. 극단적으로 $N \rightarrow \infty$인 경우, 예측 분포의 분산은 매개변수 $\beta$에 의해 결정되는 데이터의 noise 만을 포함하게 됨.

Example : Predictive uncertainty depends on $x$ and is smallest in the neighborhood of data points

베이지안 선형 회귀 모델에서의 예측 분포를 보이기 위해서 1.1절에서 sign 곡선 데이터 집합을 다시 확인해보자.  

[Figure 2] Examples of the predictive distribution (3.58) for a model consisting of 9 Gaussian basis functions of the form (3.4) using the synthetic sinusoidal data set of Section 1.1. See the text for a detailed discussion.

[Figure 2]는 point에 대한 예측 분산만을 $x$에 대한 함수로 표여주고 있음

• 녹색 곡선 : True Line (참 값)
• 파랑색 점 : 데이터 포인트
• 빨간색 곡선 : 해당 가우시안 예측 분포의 평균
• 빨간색 음영 : 평균치로부터 양쪽방향으로 1 표준편차만큼 표현

 예측값의 불확실성은 $x$에 대해 종속적이며, 데이터 포인트들의 주변에서 그 불확실성이 가장 작다. 또한 불확실성의 정도는 관측된 데이터 포인트들의 수가 늘어남에 따라 감소하고 있다.

 

[Figure 3]는 서로 다른 $x$의 예측값들에 대한 공분산을 살펴보기 위해서는 $\mathbf{w}$에 대한 사전 분포로부터 샘플들을 추출 한 후 그에 대한 함수들 $y(x, \mathbf{w})$를 그린 것이다.

[Figure 3] Plots of the function y(x, w) using samples from the posterior distributions over w corresponding to the plots in Figure 2

 가우시안과 같은 지역적인 지역 함수를 사용한다면, 기저 함수의 중심으로부터 떨어진 구간에서는 예측 분산(불확실성) 두 번째항의 기여도가 0이 될 것이고, noise의 기여도인 $\beta^{-1}$만이 남게 될 것이다. 이를 그래도 해석하면, basis function에 의해 포함되는 바깥에 대해서 예측할 경우에는 모델의 신뢰도가 높아진다는 결과(?)가 나오는데, 이는 바람직하지 않음. Gaussian Process를 통해 또 다른 방법을 활용함으로써 이 문제를 피할 수 있다고 한다.

$\mathbf{w}, \beta$가 둘 다 알려져 있지 않을 경우에는 사전 켤레 분포 $p(\mathbf{w}, \beta)$를 사용할 수 있고, 이때는 가우시안 감마 분포로 주어지며, 예측 분포는 스튜던트 t 분포가 된다고 한다.

 

▶ 3.3.3 Equivalent kernel

 앞에서 다룬 식 (3)인, $\mathbf{m}_N = \beta \mathbf{S}_N \Phi^{T}\mathbf{t}$는 선형 기저 함수 모델에서의 평균이다. 평균에 대한 사후 해를 흥미로운 방식으로 해석할 수 있음. (가우시안 프로세스)를 포함한 커널 방법론에 대해 살펴보는 첫단계이며, 식 (3)을 아래 식 (12)에 대입해보면 식(13)이다.

  $$y(\mathbf{x}, \mathbf{w})=\sum_{j=0}^{M-1} w_{j} \phi_{j}(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^T\mathbf{\phi}(\mathbf{x}) \tag{12}\label{12}$$

• The Predictive distribution

$$y(\mathbf{x}, \mathbf{m}_N) = \mathbf{m}_N^T \mathbf{\phi(\mathbf{x})} = \beta \phi(\mathbf{x})^T \mathbf{S}_N \Phi^T \mathbf{t} = \sum_{n=1}^{N} \beta \phi(\mathbf{x})^T \mathbf{S}_N \phi(\mathbf{x}_n)t_n \tag{13}\label{13}$$

... 에제 데이터 만들어서 설명! 

• We can think

$$y(\mathbf{x}, \mathbf{m}_N) = \sum_{n=1}^{N} k(\mathbf{x}, \mathbf{x}_n) t_n \tag{14}\label{14}$$

 point $\mathbf{x}$에서의 예측 분포들의 평균은 훈련 집합 타긴 변수 $t_n$들의 선형 결합으로 주어지며 식 (14) 처럼 적을 수 있다.

여기서 함수 $k(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{'})$는 다음처럼 정의된다. 이는 smmother matrix(평활 행렬) 또는 equivalent kernel(등가 커널)이라고도 알려짐

$$k(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{'}) = \beta \phi(\mathbf{x})^T \mathbf{S}_N \mathbf{\phi(\mathbf{x}^{'})} \tag{15}\label{15}$$

• The mean of predictive distribution is obtained by a weighted combination of the target values in whch data point close to $x$ are given higher weights

 훈련 집합 표적값들의 선형 결합을 입력받아서 예측값을 내는 이러한 회귀 함수는 선형 평활기라고 불리며, 등가 커널은 입력값 $\mathbf{x}_n$에 종속적임 (이유 : $S_N$의 정의에 $\mathbf{x}_n$이 포함되어 있기 때문). 기저 함수가 가우시안인 경우의 등가 커널에 대해 [Figure 4]에 그려져있다. 커널 함수 $k(x, x^{'})$를 세 개의 서로 다른 $x$값들에 대해서 $x^{'}$로 그렸다. 각각은 $x$ 주변에서 지역화되어 있다. $y(x, \mathbf{m}_N)$으로 주어지는 $x$에서의 예측 분포는 표적값들의 가중 조합을 통해 구해지게 되는데, 이때 $x$에 근접할수록 더 높은 가중치를, $x$ 값으로부터 더 멀리 떨어질수록 낮은 가중치를 가지게 된다. 

[Figure 4] The equivalent kernel k(x, x') for the Gaussian basis functions

• It seems reasonable that we should weight local evidence more strongly than distance evidence

직관적으로 봤을 때 지역적으로 가까이 있는 증거를 더 멀리 떨어져 있는 증거보다 더 높게 가중하는 것이 타당해 보임. (이러한 지역화 성질은 지역화된 가우시안 기저 함수뿐 아니라 비지역적인 다항 기저 함수와 시그모이드 기저 함수의 경우에도 적용됨[Figure 5])

[Figure 5] Examples of equivalent kernels k(x, x') for x = 0 plotted as a function of x'

• Covariance between $y(\mathbf{x})$, $y(\mathbf{x}^{'})$

 식 (16), $y(\mathbf{x})$와 $y(\mathbf{x}^{'})$ 간의 공분산에 대해 고려해 보면 등가 커널의 역할에 대한 더 깊은 통찰을 얻을 수 있음 (전개 과정은 생략) 즉, 등가 커널의 형태로부터 서로 근처에 있는 포인트들의 예측 평균들은 상관성이 크며, 서로 멀리 떨어져 있는 포인트들의 예측 평균들은 상관성이 작다는 것을 볼 수 있음

$$\begin{aligned} \text{cov}[y(\mathbf{x}), y(\mathbf{x}^{'}] &= \text{cov}[\mathbf{\phi(\mathbf{x})}^T\mathbf{w}, \mathbf{w}^T \mathbf{\phi(\mathbf{x}^{'})}] \\ &=\mathbf{\phi(\mathbf{x})^T}\mathbf{S}_N \mathbf{\phi(\mathbf{x}^{'})} \\ &= \beta^{-1} k(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{'}) \\ \end{aligned} \tag{16}\label{16}$$

• Localization property holds not only for the localized basis functions such as Gaussian but also for non-localized basis function such as polynomial basis
• Instead of introducing basis functions, it is possible to design equivalent kernel and use this to make predictions which leads to a framework of Gaussian process.
• Note that under mild conditions $\sum_n k(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{'})=1$

 등가 커널이 가중치들을 결정하며, 이 가중치들을 바탕으로 훈련 집합의 타깃 변수들이 합쳐져서 새로운 $\mathbf{x}$ 값에 대한 예측을 한다는 것을 살펴보았으며, 이 가중치들을 모든 $\mathbf{x}$ 값들에 대해 합산하면 1이 된다는 것을 알 수 있음 (연습문제 3.14)

 

 

Reference

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• Pattern Recognition and Machine Learning
• PRML Example Code (git) : github.com/ctgk/PRML