[베이지안 딥러닝] Appendix. Calculus of Variations (변분법)

2020-2학기 이화여대 김정태 교수님 강의 내용을 바탕으로 본 글을 작성하였습니다.

 

 기존 미분에서 주로 다루는 문제 중 하나로 함수 $y(x)$를 최대화하거나 최소화하는 $x$값을 찾는 것이 있다. 이와 비슷하게  Calculus of Variations(변분법)에서는 범함수 $F[y]$를 최대화하거나 최소화하는 함수 $y(x)$를 찾는 문제를 다룬다. 모든 가능한 함수 $y(x)$들 중에서 $F[y]$를 최대화하거나 최소화하는 특정 함수를 찾는 것이다. 오일러 라그랑주 공식을 이용해서 구할 수 있는데. 우선 오일러 라그랑주 공식 [식 (2)]을 살펴보자. 

Therrem 1.1 The minimizing functional of the following objective function

$$F(y) = \int^{x_2}_{x_1} G(y(x), y'(x), x) d x \tag{1}\label{1}$$

should satisfy the following Euler-Lagrange equation:

$$\frac{\partial G}{\partial y} - \frac{d}{d x}(\frac{\partial G}{\partial y'})=0 \tag{2}\label{2}$$ 

$proof.$ $F(y)$ is minimized at $y'$ and $\eta(x)$ is an arbitrary function which vanishes at $x_1$ and $x_2$. Then