[04] Concepts from Geometry

references : E.K.P. Chong and S.H. Żak, An Introduction to Optimization, Wiley, 2013.

4.1 Line Segments (선분)

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 n차원에 point x 와 point y 가 있다고 하자. point를 vector로 표현 가능. [Figure 4.1]을 보면 x 와 y 점이 찍혀있을 때, 두 점을 연결한 것을 확인할 수 있는데, 이때, x 와 y 사이를 연결하는 선을 Line segment라고 한다. 그 위에 z를 올려보면 z는 x와 y에 대해 아래와 같은 관계식를 가진다.

 따라서, 위 방정식을 z (좌변)중심으로 다음과 같이 정리할 수 있다. 알파는 [0 ~ 1] 사이의 real number(실수).

[the line segment between x and y]

 

[Figure 4.1] Line segment.

 

4.2 Hyperplanes and Linear Varieties

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  아래의 방정식을 만족하면 n차원 space(공간)의 hyperplane(초평면)이라고 부름

a hyperplane of the space Rn .

hyper plane을 matrix 로 표현

[Figure 4.2] Translation of a hyperplane.

 hyperplane은 two half-spaces로 나눌 수 있다. 

 

4.3 Convex Sets

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Convex 의미

 즉, 어떤 집합(set, θ)이 주어져 있다고 하자. 이 집합의 원소인 두 점 (u)과 (v)를 잇는 선분이 이 집합에 다시 포함될 때, 우리는 이 집합을 convex set이라고 부른다. 다시 말하면 집합 θ가 convex가 될 조건은 다음과 같다.

※ 주의 convex sets과 convex functions(추후 다룰 예정)는 다름

Examples of convex sets include the following:

convex sets

[Figure 4.3] convex  sets &  [Figure 4.4] non-convex sets.

 

 

Theorem 4.1 

Theorem 4.1 

증명은 생략

4.4 Neighborhoods

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Neighborhoods's 정의

2차원 및 3차원에서의 point x에서의 입실론거리 내의 neighborhood는 각각 아래의 공간(회색 부분)을 나태낸다. 그리고 공간내에 존재하는 point를 interior point라고 한다.

[Figure 4.7] Examples of neighborhoods of a point in R2 and R3 .

 

"interior point" 와 "boundary point"

[Figure 4.8] x is an interior point; y is a boundary point.

 

Open and closed sets. 

 

[Figure 4.9] Open and closed sets.

Theorem 4.2

증명은 생략

 

4.5 Polytopes and Polyhedra

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